-关于作者-

吴兵，中国科学院理论物理研究所博士生

指导老师：郭凤昆研究员

研究方向：强子物理

乒乓球被称为中国的国球，在中国有着深厚的群众基础。毫不夸张地说，在中国的任何一个角落你都能找到会打乒乓球的人。虽然我们很多人都会打乒乓球，但对乒乓球的了解往往不够深入。作为一个经常打乒乓球的人，相信很多人在看着这颗小白球的时候都会和我一样想：这球的弧线怎么这么奇怪？为什么有时候触球的时候球会飞出去，有时候又直接下网？怎样才能发挥出最大的力量？接下来，我就以以上问题为切入点，结合我个人日常打球的经历，用初中物理基础知识来简单介绍一下这颗小白球。

1 乒乓球的一些基本术语

在正式分析之前，我们先简单介绍一下乒乓球中的一些术语。乒乓球是一项隔网运动，选手需要在乒乓球第一次弹起后（未再次触及球台或地面前）进行单击，使球直接越过或绕过网具，或触及网具后触及对方球台（擦网），这样的反击才合法，否则判为失败。所以反击违规主要有三种情况：第一是没有击中球，又称“漏球”；第二是被网挡住没有穿过，又称“落网”；第三是球过网后没有落在对方球台上，而是落在对方球台外，称为“出界”。

如果忽略乒乓球的形变，可以将其看作一个理想刚体，其运动可以简单分解为质心的平动和绕质心的旋转，后者对应的就是乒乓球的旋转。旋转是乒乓球区别于羽毛球的关键部分，也是这个小白球的魅力所在。根据旋转轴的朝向和质心运动的方向，旋转可以简单分为上旋、下旋和侧旋三种。通俗地说，上旋是指乒乓球在飞行过程中上半部分向前旋转（角速度方向在水平面质心运动分速度的左侧），如图1（b）所示；同理，下旋是指乒乓球在飞行过程中下半部分向前旋转（角速度方向在水平面质心运动分速度的右侧），如图1（a）所示。 可以发现，上旋和下旋的界定和球的质心运动方向有关，一旦将图1中的方向反转，对应的上旋和下旋也会反转。乒乓球的实际旋转通常是上旋、下旋和侧旋的混合。下面我们主要分析上旋和下旋，其他旋转的分析也类似。值得注意的是，这里的上旋和下旋都是指旋转较强的情况，如果是旋转较弱，影响就很小，可以当做无旋转球处理。

图 1：乒乓球的上旋球和下旋球。蓝色弧线表示乒乓球的旋转方向，矢量表示乒乓球质心在水平面上的分速度。

2 乒乓球旋转、台面、球拍面的作用——前冲、无球移动、高飞、下沉

我们先分析旋转的乒乓球与桌面的相互作用[1,2]。考虑图2中三种情况（a,b,c）中的力，其中（a）表示不旋转的球，（b）和（c）有相应的旋转。根据前面的定义，在图2（d,e）所示的质心速度处，（b）和（c）分别为下旋和上旋。对于不旋转的情况（a），在弹性碰撞近似下，入射乒乓球的出射速度将为（即平行于桌面的分速度不变，垂直于桌面的分速度相反），如图2（d）所示；一旦乒乓球有旋转，就会产生额外的摩擦力。由于摩擦总是阻碍相对运动（和相对运动趋势），所以（b）和（c）中作用在乒乓球上的摩擦力方向相反。根据牛顿第二运动定律

可以看出，相应的力会产生相应方向的动量（速度）变化。因此可以判断，由于摩擦力的影响（实际情况中，必须考虑形变，否则此处的摩擦力只会影响绕质心的旋转，而不会改变质心速度），水平平台上（b）、（c）的分速度大小会分别小于和大于，即图2（d）所示的总和。考虑到速度的方向就是对应轨迹的切线方向，忽略空气阻力后，是简单的水平投影运动，因此不难判断，图2中（a）、（b）、（c）三种旋转情况对应的运动轨迹就是图2（e）中的三条虚线a、b、c。 显然，相比无旋转球的出球弧a，上旋球（弧c）显得“向前冲”更多，下旋球（弧b）显得“向前不去”。即使乒乓球的下旋足够强，出球弧b也可能直接“跳回”。乒乓球中有一种自动反弹的发球——零发球——就源于此。它是奥运冠军马琳的绝活。当然，普通人通过一些练习也可以掌握。

我们可以用类似的方法分析旋转的乒乓球与拍面的相互作用[1-4]，此时的受力分析和运动学分析如图3所示。从图3（e）可以明显看到，与非旋转球的弧线a相比，上旋球会出现明显的“上扬”（弧线c），这会导致球容易出界；而下旋球的弧线较低（弧线b），因此更容易下网。如果下旋球的力度足够大，甚至可能直接向下运动，接球时球会感觉很“重”。

图2：乒乓球与台面相互作用示意图。（a，b，c）为受力分析图，其中 为台面提供的支撑力， 为重力， 为旋转产生的摩擦力。另外，蓝色弧线表示乒乓球的旋转方向，（a）中球不旋转；（d，e）为运动学分析图，其中（d）表示乒乓球以入射速度碰撞台面后的出球速度为，上标a，b，c分别对应上图（a，b，c）的旋转情况；（e）中虚线表示乒乓球的运动轨迹，乒乓球碰撞台面后的起跳轨迹a，b，c分别对应上图（a，b，c）的旋转情况，分别为不旋转、下旋、上旋。

图3：乒乓球与拍面相互作用示意图。具体符号及标记见图2。需要注意的是，此处（e）中的“无旋转”、“上旋”和“下旋”代表的是这种旋转的球从A点到B点的过程中，与拍面碰撞后的轨迹。

3 乒乓球旋转的弧线——快攻、弧圈球和削球

接下来我们分析上旋球和下旋球对乒乓球运动弧线的影响[1-4]。我们考虑图4中的(a)和(b)两种情况。为了便于分析，我们分别将两个乒乓球的北极和南极表示为，和，质心速度(相对于地面静止系统)的大小为，绕质心的角速度的大小为，乒乓球的半径为。容易看出，对于下旋球，在和处的速度大小是不同的，具体为

由于流体的粘滞性，对于图4（a）中的下旋球，上半球附近的气流速度会明显小于下半球。根据流体力学中的伯努利方程，流速快的地方压强小，流速慢的地方压强大，因此上半球的压强大于下半球的压强。相应地，就会产生一个向下的力，这个力通常称为马格努斯力[5]，记为。上旋球的情况如图4（b）所示，此时马格努斯力的方向是垂直向上的。这两个马格努斯力都会导致乒乓球在垂直方向上的加速度偏离重力加速度，即

同时，上旋球和下旋球的垂直加速度显然和偏离角速度的程度有关，随着角速度受空气阻力作用不断减小，上旋球和下旋球最终都会趋近于。

图4：空中下旋球和上旋球的受力分析。蓝色弧线表示乒乓球的旋转方向， 为角速度的大小， 为质心速度， 为重力， 为乒乓球在空气流体中因旋转运动时受到的马格努斯力。

现在我们来分析乒乓球在该马格努斯力作用下的运动学。考虑图3（e）所示的乒乓球，初速度为。将其运动分为垂直方向和水平方向两部分，容易看出，水平方向是简单的匀速直线运动，速度为；垂直方向的初速度为（记为），对于上旋、无旋、下旋，对应的加速度大小分别为上旋、、下旋，满足公式（3）。同时，随着时间的推移，上旋不断增大并趋于，下旋不断减小并趋于。 （实际的物理情况会更加复杂，一般乒乓球在刚离开球拍和球台时会迅速上升，随后开始下降，这里讨论的是一种简化的情况。）为了便于分析，我们将垂直运动分为上升阶段和下降阶段，分别对应于从A点开始到达最高点和从最高点落回到与A点相同的高度，并假设在这两个阶段垂直加速度近似恒定，分别记为上升和下降。考虑到马格努斯力随时间减小，我们自然有

上升上旋球、下降上旋球、下降下旋球和上升下旋球的对应关系如图4所示。考虑加速度关系（4），我们可以得到

在此基础上，考虑水平方向为匀速直线运动，可得到相应的运动轨迹（如图6所示）。不难发现，由于下旋球在下降段的弧线（橙色虚线）比上升段的弧线（橙色虚线）更平缓；由于上旋球在下降段的弧线（绿色虚线）比上升段的弧线（绿色虚线）更陡峭，整体表现明显“向下”；而非旋转球则是一条完美的抛物线（黑色虚线和黑色虚线）。

这三条弧线分别对应着乒乓球的三种主要打法——以速度快、弧线低（一般旋转弱）为特征的“快攻”，以强上旋、弧线怪异为特征的“弧圈球”，以防守、下旋强为特征的“削球”。在乒乓球历史上，这三种打法都涌现出了大批优秀运动员。虽然快攻可以在保证球过网的情况下，以最快的速度将球从本方球台打到对方球台，但由于乒乓球材质、尺寸的改革，比赛回合数增加。因此，上旋球“容易过网”、“弧线后不易出界”、“落地跳起后球会更突然地向前冲”等特点，自20世纪70年代以来逐渐成为世界乒乓球的主流打法。

图5：不同旋转球的图。这个过程是一个垂直向上弹起然后落到这个位置的过程。黑色实线代表不旋转的球，橙色实线代表下旋球，绿色实线代表上旋球。对应代表直线斜率的相反数，它们的大小关系满足公式（4）

图 6：相同初速度下不同旋转球的弹道。其中 为射门速度， 为水平方向分速度， 为垂直方向分速度。黑线、橙线、绿线分别对应无旋转、下旋、上旋，虚线为上升段圆弧，虚线为下降段圆弧。

4 如何接下旋球 - 搓球并产生下旋

在第二部分中，我们介绍了上旋球、下旋球与拍面的相互作用。我们发现，如果用无旋转的方式接上旋球，球的弧线会明显较高，更容易出界；而下旋球，球的弧线会较低（甚至直接向下），更容易下网。那么应该怎么接呢？以下旋球为例，一般有两种接法。第一种方法如图7（a）所示——改变拍面倾角[4]。本来接下旋球的时候，球的弧线较低，所以我们把拍面往后倾，接触球的中下部（这样无旋转球会较高），相当于把弧线抬高，避免下网。 在选择这种方式时，我们通常还会给球拍加上一个与旋转方向相反的切向速度（即图7（a））来搓球，这样回球仍然是下旋球，就叫搓球。搓球是乒乓球技术中非常关键的一个环节，也是公园、社区老人取胜的必由之路。在业余圈内，以搓球为主的打法通常被称为“铁搓”。第二种接球方式如图7（b）所示——给球拍加上一个向上的切向速度。因为摩擦力来自于球与球拍接触点的相对速度，如果我们提高挥拍速度，让球拍与球在接触点处几乎没有相对速度，那么球相对于球拍就几乎没有旋转，摩擦力就可以大大减小，甚至原本的下旋球在与球拍互动时也可以等效为上旋球。 这种接球方式在乒乓球技术中被称为“下旋球”。因为它要求我们在拍面触球时，要有一个合适的切向速度，而这个切向速度不能太大——太大了，来球就相当于打出很强的上旋球，很容易出界。所以下旋球是乒乓球中的高级技术。如果你能打出非常稳定的下旋球，那么毫不夸张地说，你至少可以战胜我们乒乓球大国90%的业余选手。上旋球的接球方法，也可以通过类似的分析得出。

想要接好这些旋转球，有一个很重要的前提——首先你需要判断来球的旋转，以及旋转的强弱。如果你判断失误，比如用接下旋球的同样方法去接上旋球或者不旋转球，那么等待你的要么是出界球，要么是对手的雷霆万钧一击。所以在国际比赛中，为了减轻选手在接对方发球时的压力，要求选手不要挡球，发球时必须将球垂直向上抛（抛球角度不能偏离垂直线超过15度）至少16厘米，从最高点落下后才能击球。

图 7：接下旋球的两种方式。蓝色弧线表示球的旋转方向，角速度的大小，重心速度，球拍速度。

5 如何最大程度发挥自己的实力——终极一招爆发冲锋

从图7(b)可以看出，下旋球要求 处的挥拍速度必须接近下旋球的线速度，也就是说，如果来球的下旋特别强，我们需要非常快的挥拍速度。由此出发，我们自然而然地想到一个关键问题——如何尽可能快地挥动球拍？或者说，如何才能发挥出最大的力量？我们通过一个简单的小臂和手腕运动来说明这个问题。如图8(a)所示，我们将小臂和手腕简化为两条线，分别是 和 ，而 和 点分别对应肘关节和腕关节。假设身体的其余部分相对于地面是静止的，也就是我们能控制 和 ，肘关节相对于地面也是静止的。现在我们来考虑如何最大化挥拍速度？或者说，如何让 处达到最大速度？从

对上式两边对时间取导数，可得

其中，为此时的挥杆速度，和分别为小臂相对于肘关节、腕关节相对于腕关节的角速度（它们的大小分别记为和），和为对应点之间的位置向量。对于小臂绕轴关节的旋转和腕关节绕腕关节的旋转，对应的角速度的大小一般有一个上限，这里分别记为和。和的大小分别对应于小臂和腕关节的长度，并且是固定的。因此，显然有

这个方程的物理含义是：我们要想以最大的速度挥动球拍，就需要让小臂相对于肘关节的角速度和手腕相对于腕关节的角速度同时达到最大值，并且此时小臂和手腕处于同一条直线上！

如何才能使得（8）式中的等式成立（摆动速度达到最大值）呢？一个简单的解决办法是：在时刻 ，小臂与腕部均处于静止状态，对应图8（b）中 和 的位置， 和 ；期间，我们开始摆动小臂，即小臂绕肘关节转动到 ，角速度不断增大到 ，整个过程中腕部处于完全放松状态 ( )。因为惯性的作用，腕部会甩到小臂后方，对应图8（b）中的位置。当然，这个过程中小臂的角速度并不是加速到最大值，即 ；期间，腕部开始摆动的同时，小臂转动速度不断增大，即角速度继续增大； 最后在时刻，也就是当小臂与手腕处于同一条直线上时（也就是图8（b）中的 和 位置），小臂相对于肘关节的角速度与手腕相对于腕关节的角速度同时达到最大值，也就是 和 。所以通过上述过程，理论上我们已经达到了生理上的最大挥杆速度。

图8：仅考虑前臂和腕部时的挥杆受力示意图（假设前臂和腕部始终处于同一平面）。式中，表示前臂，表示腕部，点和分别表示肘关节和腕关节，表示前臂绕肘关节旋转的角速度，表示腕部绕腕关节旋转的角速度，表示各自角速度的上限。

以上是基于肘关节静止的假设，人体是多个关节的组合，如果要达到最大挥杆速度，需要各个关节的线速度在同一时间同一方向达到最大值，这可以粗略地表示为

既然可以测量单个关​​节的最大角速度和长度，那么从理论上讲，我们可以估算出一个人的挥拍速度的上限。由此可见，当你想接近甚至达到个人挥拍速度的上限时，你需要用出全力，这时才有机会打出乒乓球的终极招式——爆发冲锋。当然实际操作中还有很多需要注意的地方，比如需要控制撞击力（质心速度）与摩擦力（绕质心旋转的角速度）的比例，保证在用尽全力的情况下不落网或者出界。此外，在实际比赛中，还需要配合非常灵活的步伐，根据来球调整自己的站位，这些都需要大量的后天练习。

图8（b）所示的挥拍过程有两点非常重要——开始时手腕要完全放松，小臂要随着手腕一起运动；从到的过程中小臂仍要保持一个不断增大的角速度。如果从整个人体来考虑，这两点就对应了几乎所有乒乓球教练反复强调的——挥拍开始时手臂要放松，腿要先踢，腰腿转动，腰腿带动手臂摆动；开始时不要“紧”，动作要舒展，像鞭打一样，不要突然放力，这就是“鞭打力”。

6 乒乓球运动的现状

旋转是乒乓球的魅力所在，但也正是因为旋转，乒乓球对新手极其不友好，入门门槛很高。另外，乒乓球台虽然不大，但球速却很快，这就导致一个问题——回合数太少。一项运动如果大部分时间都浪费在捡球上，确实会让很多人望而却步。因此，乒乓球逐渐成为了小众运动。即便是我们这样的乒乓球大国，年轻一代也更喜欢羽毛球和篮球。我听到过一些改革乒乓球的建议，比如使用能大幅度降低旋转和速度的沙盘，进一步增加乒乓球的半径以降低速度，适当增加球台的宽度等。这些都是乒乓球要想继续生存发展，或许需要做出的改变。

参考文献（幻灯片查看）

[1]苏伟红.乒乓球旋转运动的力学分析.雁北师范学院学报,(02):86-88,2002.

[2邓贺才,何光伟.旋转对乒乓球运动状态的影响,湘南学院学报,31(02):108--110,2010.

[3] 潘克旺,闫松章,乒乓球上旋球和弧圈球的力学原理.潍坊教育学院学报,(04):22-23,2004.

[4]董胜,从物理角度看乒乓球旋转,中学物理教学参考,47(06):54-55,2018.

[5] Heinrich Gustav Magnus。“研究计算机的使用与在各种情况下使用计算机之间的关系”。《德国科学院学报》，第 1-23 页，1852 年。

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